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2019-2020年上海市杨浦区初三上册期末考试数学试题有答案-精品


杨浦区第一学期期末质量调研
初三数学试卷
(测试时间:100 分钟,满分:150 分)
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、
本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)

1.如果 5=6y,那么下列结论正确的是

(A) x : 6 ? y : 5 ; (B) x : 5 ? y : 6 ; (C) x ? 5, y ? 6 ; (D) x ? 6, y ? 5 .

2.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是

(A)都含有一个 40°的内角;

(B)都含有一个 50°的内角;

(C)都含有一个 60°的内角;

(D)都含有一个 70°的内角.

3.如果△ABC∽△DEF,A、B 分别对应 D、E,且 AB∶DE=1∶2,那么下列等式一定成立的是

(A)BC∶DE=1∶2;

(B) △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2;

(C)∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2;

(D)△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.

4.如果 a ? 2b ( a, b 均为非零向量) ,那么下列结论错误的是

(A) a // b ;

(B) a ? 2b ? 0 ; (C) b ? 1 a ; 2

(D) a ? 2 b .

5.如果二次函数 y ? ax2 ? bx ? c( a ? 0 )的图像如图所示,

y

等式成立的是

那么下列不

(A) a ? 0 ; (C) ac ? 0 ;

(B) b ? 0 ; (D) bc ? 0 .

O
(第 5 题图)

6.如图,在△ABC 中,点D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上,且∠AED=∠B,再将下列四个选项中的一个作为

条件,不一定能使得△ADE∽△BDF 的是

(A) EA ? ED ;

(B) EA ? ED ;

A

BD BF

BF BD

D E

B

F

C

(第 6 题图)

(C) AD ? AE ; BD BF

(D) BD ? BA . BF BC

二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)

7.抛物线 y ? x2 ? 3 的顶点坐标是 ▲ .

8.化简: 2(a ? 1 b) ? 3( 1 a ? b) = ▲ .

2

2

9.点 A(-1,m)和点 B(-2,n)都在抛物线 y ? ( x ? 3)2 ? 2 上,则 m 与 n 的大小关系为 m ▲ n(填

“ ? ”或“ ? ”).

10.请写出一个开口向下,且与 y 轴的交点坐标为(0,4)的抛物线的表达式 ▲ .

11.如图,DE//FG//BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4,如果 EG=4,那么 AC= ▲ .

12.如图,在□ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,点 E 是 OA 的中点,联结 BE 并延长交 AD 于点 F,如果△AEF

的面积是 4,那么△BCE 的面积是 ▲ .

13.Rt△ABC 中,∠C=90°,如果 AC=9,cosA= 1 ,那么 AB= ▲ . 3
14.如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了 130 米的同时,在铅垂方向上下降了 50 米,那么该斜坡的坡度是 1∶ ▲.
15.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,M 是 AB 中点,MH⊥BC,垂足为点 H,CM 与 AH 交于点 O,如果 AB=12, 那么 CO= ▲ .

16.已知抛物线 y ? ax2 ? 2ax ? c ,那么点 P(-3,4)关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 ▲ . 17.在平面直角坐标系中,将点(-b,-a)称为点(a,b)的“关联点”(例如点(-2,-1)是点(1,2)的“关
联点”).如果一个点和它的“关联点”在同一象限内,那么这一点在第 ▲ 象限. 18.如图,在△ABC 中,AB=AC,将△ABC 绕点 A 旋转,当点 B 与点 C 重合时,点 C 落

在点 D 处,如果 sinB= 2 ,BC=6,那么 BC 的中点 M 和 CD 的中点 N 的距离是 ▲ .

3

A

A

A

DE

AF

D

F

G

E

O

M O

B

CB

C

(第 11 题图)

(第 12 题图)

C

H

BB

C

(第 15 题图)

(第 18 题图)

三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题满分 10 分)

计算: cos 45?? tan 45? ? sin 60?? cot 60? cot 45? ? 2sin 30?

20.(本题满分 10 分,第(1)、(2)小题各 5 分)

已知:如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,sinB= 3 ,点 D、E 分别在边 AB、BC

5

A

上,且 AD∶DB=2∶3,DE⊥BC.

D

(1)求∠DCE 的正切值;

(2)如果设 AB ? a , CD ? b ,试用 a 、 b 表示 AC . C

E

B

(第 20 题图)

21.(本题满分 10 分)

甲、乙两人分别站在相距 6 米的 A、B 两点练习打羽毛球,已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,

甲在离地面 1 米的 C 处发出一球,乙在离地面 1.5 米的 D 处成功击球,球飞行过程中的最高点 H 与甲的水

平距离 AE 为 4 米,现以 A 为原点, 建立平面直角坐标系(如图所示). 的路线所在的抛物线的表达式及 度.

y C

H.
D

直线 AB 为轴, 求羽毛球飞行 飞行的最高高

A(O)

E

B

(第 21 题图)

22.(本题满分 10 分)

如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱 BC 的高

与灯杆 AB 的夹角为 120°.路灯采用锥形灯罩,在地

A

DE 的长为 13.3 米,从 D、E 两处测得路灯 A 的仰角分 B

且 tanα =6. 求灯杆 AB 的长度.

为 10 米,灯柱 BC 面上的照射区域 别为 α 和 45°,

C D (第 22 题图)

E

23.(本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)

已知:梯形 ABCD 中,AD//BC,AD=AB,对角线 AC、BD 交于点 E,点 F 在边 BC 上,且∠BEF=∠BAC.

(1)求证:△AED∽△CFE; (2)当 EF//DC 时,求证:AE=DE.

A

D

E

B

F

C

(第 23 题图)

24.(本题满分 12 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 4 分)

在 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 中 , 抛 物 线

y ? ?x2 ? 2mx ? m2 ? m ?1交 y 轴于点为 A,顶点为 D,

y

交于点 H. (1)求顶点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示); (2)当抛物线过点(1,-2),且不经过第一象限时,平 到抛物线 y ? ?x2 ? 2x 的位置,求平移的方向和距离; (3)当抛物线顶点 D 在第二象限时,如果∠ADH=∠AHO,

5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O -1 -2 -3

1 2 34

(第 24 题图)

对称轴与轴 移此抛物线 求 m 的值.

25.(本题满分 14 分,第(1)、(2)小题各 6 分,第(3)小题 2 分) 已知:矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,点 M、N 分别在边 AB、CD 上,直线 MN 交矩形对角线 AC 于点 E,将
△AME 沿直线 MN 翻折,点 A 落在点 P 处,且点 P 在射线 CB 上. (1)如图 1,当 EP⊥BC 时,求 CN 的长; (2)如图 2,当 EP⊥AC 时,求 AM 的长; (3)请写出线段 CP 的长的取值范围,及当 CP 的长最大时 MN 的长.

A

D

N E

M

BP C
(图 1)

A

D

M

E N

PB

C

(图 2)

(第 25 题图)

A

D

B

C

(备用图)

杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议

一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)

1、A; 2、C; 3、D; 4、B; 5、C; 6、C

二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)

7、(0,-3);

8、

1

r a

?

r 4b



2

9、<;

10、 y ? ?x2 ? 4 等; 11、12;

12、36;

13、27;

14、2.4;

15、4;

16、(1,4);

17、二、四;

18、4

三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分)

19.(本题满分 10 分)

解:原式=

2 ?1? 3 ? 3 2 23
1? 2? 1 2

--------------------------------------------------(6 分)

2 ?1 = 2 2 ----------------------------------------------------------------(2 分)
2

= 2 ?1 . --------------------------------------------------------------(2 分) 4
20.(本题满分 10 分,第(1)、(2)小题各 5 分)

解:(1)∵∠ACB=90°,sinB= 3 ,∴ AC ? 3 . -------------------------(1 分) 5 AB 5
∴设 AC=3a,AB=5a. 则 BC=4a. ∵ADDB=23,∴AD =2a,DB=3a.

∵∠ACB=90°即 AC⊥BC,又 DE⊥BC,

∴AC//DE. ∴ DE ? BD , CE ? AD . AC AB CB AB

∴ DE ? 3a , CE ? 2a . ∴ DE ? 9 a , CE ? 8 a .----------(2 分)

3a 5a 4a 5a

5

5

∵DE⊥BC,∴ tan ?DCE ? DE ? 9 .-----------------------------(2 分) CE 8
(2)∵ADDB=23,∴ADAB=25. ------------------------------------------------(1 分)

∵ AB ? a , CD ? b ,∴ AD ? 2 a . DC ? ?b .--------------------(2 分) 5

∵ AC ? AD ? DC ,∴ AC ? 2 a ? b .-----------------------------------(2 分) 5

21.(本题满分 10 分) 解:由题意得:C(0,1),D(6,1.5),抛物线的对称轴为直线=4.----(3 分)
设抛物线的表达式为 y ? ax2 ? bx ?1?a ? 0? -------------------------------------(1 分)

则据题意得:

??? ?

b 2a

?

4

.

??1.5 ? 36a ? 6b ?1

----------------------------------------------(2 分)

解得:

???a ? ?b ??

? ?

?
1 3

1 24

.

-------------------------------------------------------------------(2 分)

∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为 y ? ? 1 x2 ? 1 x ?1. ------(1 分) 24 3

∵ y ? ? 1 ? x ? 4?2 ? 5 ,∴飞行的最高高度为 5 米. ------------------------(1 分)

24

3

3

22.(本题满分 10 分)

解:由题意得∠ADE=α ,∠E=45°.----------------------------------------------(2 分)

过点 A 作 AF⊥CE,交 CE 于点 F,过点 B 作 BG⊥AF,交 AF 于点 G,则 FG=BC=10.

设 AF=.

A

∵∠E=45°,∴EF=AF=.

B

G

C DF

E

在 Rt△ADF 中,∵tan∠ADF= AF ,-----------------(1 分) DF

∴DF= AF ? x ? x . --------------------------(1 分) tan?ADF tan? 6

∵DE=13.3,∴ x ? x =13.3. ---------------------------(1 分) 6

∴ =11.4.

---------------------------------------------(1 分)

∴AG=AF﹣GF=11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------(1 分)

∵∠ABC=120°,∴∠ABG=∠ABC﹣∠CBG =120°﹣90°=30°.-------------------(1 分)

∴AB=2AG=2.8

----------------------------------------------------------------------- (1

分)

答:灯杆 AB 的长度为 2.8 米.------------------------------------------------------------(1 分)

23.(本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)

证明:(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD,

∠BEC=∠BEF+∠FEC,

又∵∠BEF=∠BAC,∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ (1 分)

∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- (1 分)

∴∠FEC=∠ADB.

-------------------------------------------------------- (1 分)

∵AD//BC,∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- (1 分)

∴△AED∽△CFE. --------------------------------------------------------- (1 分)

(2)∵EF//DC,∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- (1 分)

∵∠ABD=∠FEC ,∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- (1 分)

∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC. ----------------------------------------------- (1 分)

∴ AE ? BE .-----------------------------------------------------------------------------DE CE
(1 分)
∵AD//BC,∴ AE ? DE .---------------------------------------------------------------CE BE
(1 分)
∴ AE ? AE ? BE ? DE .即 AE2 ? DE2 .-------------------------------------------(1 分) DE CE CE BE
∴ AE=DE. ----------------------------------------------------------------------------- (1 分) 24.(本题满分 12 分,第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 4 分)

解:(1)∵ y ? ?x2 ? 2mx ? m2 ? m ?1 ? ?(x ? m)2 ? m ?1.------------------------(1 分)

∴顶点 D(m, 1-m).-----------------------------------------------------------------(2 分)

(2)∵抛物线 y ? ?x2 ? 2mx ? m2 ? m ?1过点(1,-2),

∴ ?2 ? ?1? 2m ? m2 ? m ?1 .即 m2 ? m ? 2 ? 0 . ---------------------------(1 分) ∴ m ? 2 或 m ? ?1(舍去). ------------------------------------------------------(2 分)
∴抛物线的顶点是(2,-1).

∵抛物线 y ? ?x2 ? 2x 的顶点是(1,1),

∴向左平移了 1 个单位,向上平移了 2 个单位.

-------------------------(2 分)

(3)∵顶点 D 在第二象限,∴ m ? 0 .

情况 1,点 A 在 y 轴的正半轴上,如图(1).作 AG⊥DH 于点 G, ∵A(0, ?m2 ? m ?1),D(m,-m+1),

y D

∴H( m, 0 ),G( m, ?m2 ? m ?1 )

∵∠ADH=∠AHO,∴tan∠ADH= tan∠AHO,

∴ AG ? AO . DG HO


1?

m

?

?m (?m2

?

m

? 1)

?

?m2 ? m ?m

?1.

G

A

H

O

整理得: m2 ? m ? 0 . ∴ m ? ?1或 m ? 0 (舍). --------------(2 分)

y 情况 2,点 A 在 y 轴的负半轴上,如图(2).作 AG⊥DH 于点 G,

∵A(0, ?m2 ? m ?1),D(m,-m+1),

D

∴H( m, 0 ),G( m, ?m2 ? m ?1 ) ∵∠ADH=∠AHO,∴tan∠ADH= tan∠AHO,

H

O

G

A

∴ AG ? AO . DG HO


1?

m

?

?m (?m2

?

m

? 1)

?

m2

?m ?m

?1

.

整理得: m2 ? m ? 2 ? 0 . ∴ m ? ?2 或 m ? 1(舍). ---------(2 分) ∴ m ? ?1或 m ? ?2 .
25.(本题满分 14 分,第(1)、(2)小题各 6 分,第(3)小题 2 分) 解:(1)∵△AME 沿直线 MN 翻折,点 A 落在点 P 处,
∴△AME≌△PME. ∴∠AEM=∠PEM,AE=PE. ∵ABCD 是矩形,∴AB⊥BC. ∵EP⊥BC,∴AB// EP. ∴∠AME=∠PEM. ∴∠AEM=∠AME. ∴AM=AE. ---------------------(2 分)

∵ABCD 是矩形,∴AB// DC. ∴ AM ? AE . ∴CN=CE. ------------------(1 分) CN CE
设 CN= CE=. ∵ABCD 是矩形,AB=4,BC=3,∴AC=5. ∴PE= AE=5- .

∵EP⊥BC,∴ EP ? sin ?ACB ? 4 . ∴ 5 ? x ? 4 . ---------------------(1 分)

CE

5

x5

∴ x ? 25 ,即 CN ? 25 .

9

9

------------------------------------------------------(2 分)

(2)∵△AME 沿直线 MN 翻折,点 A 落在点 P 处,

∴△AME≌△PME. ∴AE=PE,AM=PM.

∵EP⊥AC,∴ EP ? tan ?ACB ? 4 . ∴ AE ? 4 .

CE

3 CE 3

∵AC=5,∴ AE ? 20 , CE ? 15 .∴ PE ? 20 .

7

7

7

---------------------(2 分)

∵EP⊥AC,∴ PC ? PE2 ? EC2 ? ( 20)2 ? (15)2 ? 25 . 7 77

∴ PB ? PC ? BC ? 25 ? 3 ? 4 .

7

7

--------------------------------------(2 分)

在 Rt△PMB 中,∵ PM 2 ? PB2 ? MB2 ,AM=PM.

∴ AM 2 ? ( 4)2 ? (4 ? AM )2 . ∴ AM ? 100 .

7

49

--------------------------------------(2 分)

(3) 0 ? CP ? 5,当 CP 最大时 MN= 3 5 .--------------------------------------------------(2 分) 2



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