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2013年初中数学中考泸州试题解析

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四川省泸州市 2013 年中考数学试卷

一、选择题(共 12 小题,每小题 2 分,共 24 分)

1.(2 分)(2013?泸州)﹣2 的相反数是( )

A.2

B.﹣2

C.

D.

考点:相反数. 分析:根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案. 解答:解:﹣2 的相反数是 2,
故选:A. 点评:此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的定义.

2.(2 分)(2013?泸州)某校七年级有 5 名同学参加设计比赛,成绩分为为 7,8,9,10,8(单

位:环).则这 5 名同学成绩的众数是( )

A.7

B.8

C.9

D.10

考点:众数. 分析:根据众数的概念:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可. 解答:解:数据 8 出现 2 次,次数最多,所以众数是 8.
故选 B. 点评:考查众数的概念.众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.

3.(2 分)(2013?泸州)下列各式计算正确的是( )

A.(a7)2=a9

B.a7?a2=a14

C.2a2+3a3=5a5

D.(ab)3=a3b3

考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.
专题:计算题.
分析:A、利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; B、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断; C、原式不能合并,错误; D、利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断.
解答:解:A、(a7)2=a14,本选项错误; B、a7?a2=a9,本选项错误; C、本选项不能合并,错误; D、(ab)3=a3b3,本选项正确, 故选 D
点评:此题考查了幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,以及合并同类项,熟练掌握运算法则
是解本题的关键.

4.(2 分)(2013?泸州)如图所示为某几何体的示意图,则该几何体的主视图应为( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单组合体的三视图. 分析:几何体的主视图就是从正面看所得到的图形,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 解答:

解:从正面看可得到图形



故选 A. 点评:本题主要考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图,关键是掌握主视图

所看的位置.

5.(2 分)(2013?泸州)第六次全国人口普查数据显示:泸州市常住人口大约有 4220000 人,这

个数用科学记数法表示正确的是( )

A.4.22×105

B.42.2×105

C.4.22×106

D.4.22×107

考点:科学记数法—表示较大的数. 分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看
把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝
对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:解:将 4220000 用科学记数法表示为:4.22×106.
故选:C. 点评:此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|
<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

6.(2 分)(2013?泸州)四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,下列条件不能判定这 个四边形是*行四边形的是( )

A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
考点:*行四边形的判定. 分析:根据*行四边形判定定理进行判断. 解答:解:A、由“AB∥DC,AD∥BC”可知,四边形 ABCD 的两组对边互相*行,则该四边形

是*行四边形.故本选项不符合题意; B、由“AB=DC,AD=BC”可知,四边形 ABCD 的两组对边相等,则该四边形是*行四边 形.故本选项不符合题意; C、由“AO=CO,BO=DO”可知,四边形 ABCD 的两条对角线互相*分,则该四边形是* 行四边形.故本选项不符合题意; D、由“AB∥DC,AD=BC”可知,四边形 ABCD 的一组对边*行,另一组对边相等,据此 不能判定该四边形是*行四边形.故本选项符合题意; 故选 D. 点评:本题考查了*行四边形的判定. (1)两组对边分别*行的四边形是*行四边形. (2)两组对边分别相等的四边形是*行四边形. (3)一组对边*行且相等的四边形是*行四边形. (4)两组对角分别相等的四边形是*行四边形. (5)对角线互相*分的四边形是*行四边形.

7.(2 分)(2013?泸州)函数

自变量 x 的取值范围是( )

A.x≥1 且 x≠3

B.x≥1

C.x≠3

D.x>1 且 x≠3

考点:函数自变量的取值范围. 分析:根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式进行计算即可得解. 解答:解:根据题意得,x﹣1≥0 且 x﹣3≠0,
解得 x≥1 且 x≠3. 故选 A. 点评:本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数.

8.(2 分)(2013?泸州)若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根,则实

数 k 的取值范围是( )

A.k>﹣1

B.k<1 且 k≠0

C.k≥﹣1 且 k≠0

D.k>﹣1 且 k≠0

考点:根的判别式;一元二次方程的定义.
专题:计算题.
分析:根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于 0 列出不等式,且二次项系数 不为 0,即可求出 k 的范围.
解答:解:∵一元二次方程 kx2﹣2x﹣1=0 有两个不相等的实数根, ∴△=b2﹣4ac=4+4k>0,且 k≠0, 解得:k>﹣1 且 k≠0. 故选 D
点评:此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于 0,方程有两个不相等的实数 根;根的判别式的值等于 0,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于 0,方程没 有实数根.

9.(2 分)(2013?泸州)已知⊙O 的直径 CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,且

AB=8cm,则 AC 的长为( )

A. cm

B. cm

C. cm 或 cm D. cm 或 cm

考点:垂径定理;勾股定理. 专题:分类讨论. 分析:先根据题意画出图形,由于点 C 的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论. 解答:解:连接 AC,AO,
∵⊙O 的直径 CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, ∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm, 当 C 点位置如图 1 所示时, ∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,

∴OM=

=

=3cm,

∴CM=OC+OM=5+3=8cm,

∴AC=

=

=4 cm;

当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm, ∵OC=5cm, ∴MC=5﹣3=2cm,

在 Rt△ AMC 中,AC=

=

=2 cm.

故选 C.

点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

10.(2 分)(2013?泸州)设 x1、x2 是方程 x2+3x﹣3=0 的两个实数根,则

的值为( )

A.5

B.﹣5

C.1

D.﹣1

考点:根与系数的关系. 专题:计算题. 分析:先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积,所求式子通分并利用同分母分式的加法
法则计算,再利用完全*方公式变形,将两根之和与两根之积代入计算即可求出值. 解答:解:∵x1、x2 是方程 x2+3x﹣3=0 的两个实数根,
∴x1+x2=﹣3,x1x2=﹣3,

则原式=

= =﹣5.

故选 B 点评:此题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.

11.(2 分)(2013?泸州)如图,点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点,把△ ADE 沿 AE 对折,点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上,已知折痕 AE=10 cm,且 tan∠EFC=,那么该矩形的周长为( )

A.72cm

B.36cm

C.20cm

D.16cm

考点:矩形的性质;翻折变换(折叠问题). 分析:根据矩形的性质可得 AB=CD,AD=BC,∠B=∠D=90°,再根据翻折变换的性质可得
∠AFE=∠D=90°,AD=AF,然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC,然后根据 tan∠EFC=,设 BF=3x、AB=4x,利用勾股定理列式求出 AF=5x,再求出 CF,根据 tan∠EFC= 表示出 CE 并求出 DE,最后在 Rt△ ADE 中,利用勾股定理列式求出 x,即可得解. 解答:解:在矩形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC,∠B=∠D=90°, ∵△ADE 沿 AE 对折,点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上, ∴∠AFE=∠D=90°,AD=AF, ∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°, ∠BAF+∠AFB=90°, ∴∠BAF=∠EFC, ∵tan∠EFC=, ∴设 BF=3x、AB=4x,

在 Rt△ ABF 中,AF=

=

=5x,

∴AD=BC=5x, ∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x, ∵tan∠EFC=, ∴CE=CF?tan∠EFC=2x?=x, ∴DE=CD﹣CE=4x﹣x=x, 在 Rt△ ADE 中,AD2+DE2=AE2, 即(5x)2+(x)2=(10 )2, 整理得,x2=16, 解得 x=4, ∴AB=4×4=16cm,AD=5×4=20cm, 矩形的周长=2(16+20)=72cm. 故选 A. 点评:本题考查了矩形的对边相等,四个角都是直角的性质,锐角三角函数,勾股定理的应用,

根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键,也是本题的难点.
12.(2 分)(2013?泸州)如图,在等腰直角△ ACB=90°,O 是斜边 AB 的中点,点 D、E 分别在 直角边 AC、BC 上,且∠DOE=90°,DE 交 OC 于点 P.则下列结论: (1)图形中全等的三角形只有两对;(2)△ ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍;(3) CD+CE= OA;(4)AD2+BE2=2OP?OC. 其中正确的结论有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点:等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 分析:结论(1)错误.因为图中全等的三角形有 3 对;
结论(2)正确.由全等三角形的性质可以判断; 结论(3)正确.利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断. 结论(4)正确.利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断. 解答:解: 结论(1)错误.理由如下: 图中全等的三角形有 3 对,分别为△ AOC≌△BOC,△ AOD≌△COE,△ COD≌△BOE. 由等腰直角三角形的性质,可知 OA=OC=OB,易得△ AOC≌△BOC. ∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE. 在△ AOD 与△ COE 中,

∴△AOD≌△COE(ASA).同理可证:△ COD≌△BOE. 结论(2)正确.理由如下: ∵△AOD≌△COE,∴S△ AOD=S△ COE, ∴S 四边形 CDOE=S△ COD+S△ COE=S△ COD+S△ AOD=S△ AOC=S△ ABC, 即△ ABC 的面积等于四边形 CDOE 的面积的 2 倍. 结论(3)正确,理由如下: ∵△AOD≌△COE,∴CE=AD, ∴CD+CE=CD+AD=AC= OA. 结论(4)正确,理由如下: ∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD. 在 Rt△ CDE 中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,∴AD2+BE2=DE2. ∵△AOD≌△COE,∴OD=OE, 又∵OD⊥OE,∴△DOE 为等腰直角三角形,∴DE2=2OE2,∠DEO=45°. ∵∠DEO=∠COE=45°,∠COE=∠COE, ∴△OEP∽△OCE,



,即 OP?OC=OE2.

∴DE2=2OE2=2OP?OC, ∴AD2+BE2=2OP?OC.
综上所述,正确的结论有 3 个,故选 C.

点评:本题是几何综合题,考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要 几何知识点.难点在于结论(4)的判断,其中对于“OP?OC”线段乘积的形式,可以寻求 相似三角形解决问题.
二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.(4 分)(2008?云南)分解因式:x2y﹣4y= y(x+2)(x﹣2) .
考点:提公因式法与公式法的综合运用. 分析:先提取公因式 y,然后再利用*方差公式进行二次分解. 解答:解:x2y﹣4y,
=y(x2﹣4), =y(x+2)(x﹣2). 点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,利用*方差公式进行二次分解因式是解本题的 难点,也是关键.
14.(4 分)(2013?泸州)在一只不透明的口袋中放入红球 6 个,黑球 2 个,黄球 n 个,这些球 除颜色不同外,其它无任何差别.搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为,则放入口袋中 的黄球总数 n= 4 .
考点:概率公式. 分析:根据口袋中放入红球 6 个,黑球 2 个,黄球 n 个,故球的总个数为 6+2+n,再根据黄球的
概率公式列式解答即可. 解答:解:∵口袋中放入红球 6 个,黑球 2 个,黄球 n 个,
∴球的总个数为 6+2+n, ∵搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为,
=,
解得,n=4. 故答案为 4. 点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)=.

15.(4 分)(2013?泸州)如图,从半径为 9cm 的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇 形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为 3 cm.

考点:圆锥的计算. 分析:首先求得扇形的弧长,即圆锥的底面周长,则底面半径即可求得,然后利用勾股定理即可
求得圆锥的高. 解答:解:圆心角是:360×(1﹣)=240°,

则弧长是:

=12π(cm),

设圆锥的底面半径是 r,则 2πr=12π, 解得:r=6,

则圆锥的高是:

=3 (cm).

故答案是:3 . 点评:正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线
长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

16.(4 分)(2013?泸州)如图,点 P1(x1,y1),点 P2(x2,y2),…,点 Pn(xn,yn)在函数

(x>0)的图象上,△ P1OA1,△ P2A1A2,△ P3A2A3,…,△ PnAn﹣1An 都是等腰直角三角形,斜 边 OA1、A1A2、A2A3,…,An﹣1An 都在 x 轴上(n 是大于或等于 2 的正整数),则点 P3 的坐标

是 ( + , ﹣ ) ;点 Pn 的坐标是 ( +

,﹣

) (用含 n 的

式子表示).

考点:反比例函数综合题.
专题:综合题.
分析:过点 P1 作 P1E⊥x 轴于点 E,过点 P2 作 P2F⊥x 轴于点 F,过点 P3 作 P3G⊥x 轴于点 G, 根据△ P1OA1,△ P2A1A2,△ P3A2A3 都是等腰直角三角形,可求出 P1,P2,P3 的坐标, 从而总结出一般规律得出点 Pn 的坐标.
解答:解:过点 P1 作 P1E⊥x 轴于点 E,过点 P2 作 P2F⊥x 轴于点 F,过点 P3 作 P3G⊥x 轴于点 G,

∵△P1OA1 是等腰直角三角形, ∴P1E=OE=A1E=OA1, 设点 P1 的坐标为(a,a),(a>0), 将点 P1(a,a)代入 y=,可得 a=1, 故点 P1 的坐标为(1,1), 则 OA1=2a, 设点 P2 的坐标为(b+2,b),将点 P1(b+2,b)代入 y=,可得 b= ﹣1, 故点 P2 的坐标为( +1, ﹣1), 则 A1F=A2F=2 ﹣2,OA2=OA1+A1A2=2 , 设点 P3 的坐标为(c+2 ,c),将点 P1(c+2 ,c)代入 y=,可得 c= ﹣ , 故故点 P3 的坐标为( + , ﹣ ), 综上可得:P1 的坐标为(1,1),P2 的坐标为( +1, ﹣1),P3 的坐标为( + ,
﹣ ),

总结规律可得:Pn 坐标为:( +

,﹣

).

故答案为:( + , ﹣ )、( +

,﹣

).

点评:本题考查了反比例函数的综合,涉及了点的坐标的规律变化,解答本题的关键是根据等腰
三角形的性质结合反比例函数解析式求出 P1,P2,P3 的坐标,从而总结出一般规律,难 度较大.

三、(共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分)

17.(6 分)(2013?泸州)计算:



考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题:计算题. 分析:原式第一项利用负指数幂法则计算,第二项先利用*方根的定义化简,再计算除法运算,
最后一项先计算零指数幂及特殊角的三角函数值,再计算乘法运算,即可得到结果. 解答:解:原式=3﹣2÷4+1×=3﹣+=3. 点评:此题考查了实数的运算,涉及的知识有:零指数、负指数幂,*方根的定义,绝对值的代
数意义,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.(6 分)(2013?泸州)先化简:

,再求值,其中 a= .

考点:分式的化简求值.

专题:探究型.

分析:先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出 x 的值,把 x 的值代入进行计算即可.

解答:解:原式=

÷

=

×

=﹣ ,

当 a= 时,原式=﹣

=1﹣ .

点评:本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

19.(6 分)(2013?泸州)如图,已知?ABCD 中,F 是 BC 边的中点,连接 DF 并延长,交 AB 的延长线于点 E.求证:AB=BE.

考点:*行四边形的性质;全等三角形的判定与性质. 专题:证明题. 分析:根据*行四边形性质得出 AB=DC,AB∥CD,推出∠C=∠FBE,∠CDF=∠E,证
△ CDF≌△BEF,推出 BE=DC 即可. 解答:证明:∵F 是 BC 边的中点,
∴BF=CF, ∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴AB=DC,AB∥CD, ∴∠C=∠FBE,∠CDF=∠E, ∵在△ CDF 和△ BEF 中
∴△CDF≌△BEF(AAS), ∴BE=DC, ∵AB=DC, ∴AB=BE. 点评:本题考查了*行四边形性质,全等三角形的性质和判定,*行线的性质的应用,关键是推 出△ CDF≌△BEF.
四、(共 2 个小题,每小题 7 分,共 14 分) 20.(7 分)(2013?泸州)某校开展以感恩教育为主题的艺术活动,举办了四个项目的比赛,它 们分别是演讲、唱歌、书法、绘画.要求每位同学必须参加,且限报一项活动.以九年级(1)

班为样本进行统计,并将统*峁娉扇缤 1、图 2 所示的两幅统计图.请你结合图示所给出的 信息解答下列问题.
(1)求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比? (2)求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数? (3)若该校九年级学生有 600 人,请你估计这次艺术活动中,参加演讲和唱歌的学生各有多少 人?
考点:条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 分析:(1)各个项目的人数的和就是总人数,然后利用参加绘画比赛的学生数除以总人数即可
求解; (2)利用对应的百分比乘以 360 度即可求解; (3)利用总人数 600 乘以对应的百分比即可求解. 解答:解:(1)学生的总数是:14+20+10+6=50(人), 参加绘画比赛的学生所占的比例是: ×100%=12%;
(2)参加书法比赛的学生所占的比例是:1﹣12%﹣28%﹣40%=20%, 则扇形的圆心角的度数是:360×20%=72°; (3)参加演讲比赛的人数是:600×28%=168(人), 参加唱歌比赛的人数是:600×40%=240(人). 点评:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图 直接反映部分占总体的百分比大小.
21.(7 分)(2011?枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神, 决心打造“书香校园”,计划用不超过 1900 本科技类书籍和 1620 本人文类书籍,组建中、小型两 类图书角共 30 个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本,人文类书籍 50 本;组建一个 小型图书角需科技类书籍 30 本,人文类书籍 60 本. (1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是 860 元,组建一个小型图书角的费用是 570 元,试说明(1) 中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
考点:一元一次不等式组的应用. 分析:(1)设组建中型两类图书角 x 个、小型两类图书角(30﹣x)个,由于组建中、小型两类
图书角共 30 个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本,人文类书籍 50 本;组建 一个小型图书角需科技类书籍 30 本,人文类书籍 60 本.若组建一个中型图书角的费用是 860 本,组建一个小型图书角的费用是 570 本,因此可以列出不等式组

,解不等式组然后去整数即可求解.

(2)根据(1)求出的数,分别计算出每种方案的费用即可. 解答:解:(1)设组建中型图书角 x 个,则组建小型图书角为(30﹣x)个.

由题意,得



化简得



解这个不等式组,得 18≤x≤20. 由于 x 只能取整数,∴x 的取值是 18,19,20. 当 x=18 时,30﹣x=12;当 x=19 时,30﹣x=11;当 x=20 时,30﹣x=10. 故有三种组建方案: 方案一,中型图书角 18 个,小型图书角 12 个; 方案二,中型图书角 19 个,小型图书角 11 个; 方案三,中型图书角 20 个,小型图书角 10 个.

(2)方案一的费用是:860×18+570×12=22320(元); 方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元); 方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元). 故方案一费用最低,最低费用是 22320 元. 点评:此题主要考查了一元一次不等式组和一次函数在实际生活中的应用,解题的关键是首先正 确理解题意,然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题,同时也利用了一次函数.

五、(共 2 个小题,每小题 8 分,共 16 分) 22.(8 分)(2013?泸州)如图,为了测出某塔 CD 的高度,在塔前的*地上选择一点 A,用测 角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°,在 A、C 之间选择一点 B(A、B、C 三点在同一直线上).用测 角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°,且 AB 间的距离为 40m. (1)求点 B 到 AD 的距离; (2)求塔高 CD(结果用根号表示).

考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 分析:(1)过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,然后根据 AB=40m,∠A=30°,可求得点 B 到 AD 的距
离; (2)先求出∠EBD 的度数,然后求出 AD 的长度,然后根据∠A=30°即可求出 CD 的高 度.

解答:解:(1)过点 B 作 BE⊥AD 于点 E, ∵AB=40m,∠A=30°,

∴BE=AB=20m,AE=

=20 m,

即点 B 到 AD 的距离为 20m;

(2)在 Rt△ ABE 中, ∵∠A=30°, ∴∠ABE=60°, ∵∠DBC=75°, ∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°, ∴DE=EB=20m, 则 AD=AE+EB=20 +20=20( 在 Rt△ ADC 中,∠A=30°,

+1),

∴DC= =10+10 .

答:塔高 CD 为(10+10 )m.

点评:本题考查了解直角三角形的应用,难度适中,解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形 并解直角三角形.
23.(8 分)(2013?泸州)如图,已知函数 y=x 与反比例函数 y=(x>0)的图象交于点 A.将 y=x 的图象向下*移 6 个单位后与双曲线 y=交于点 B,与 x 轴交于点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)若 =2,求反比例函数的解析式.

考点:反比例函数与一次函数的交点问题.

专题:计算题. 分析:(1)根据一次函数图象的*移问题由 y=x 的图象向下*移 6 个单位得到直线 BC 的解析
式为 y=x﹣6,然后把 y=0 代入即可确定 C 点坐标; (2)作 AE⊥x 轴于 E 点,BF⊥x 轴于 F 点,易证得 Rt△ OAE∽△RtCBF,则 = = =2, 若设 A 点坐标为(a, a),则 CF=a,BF=a,得到 B 点坐标为(+a, a),然后根据反比 例函数上点的坐标特征得 a?a=(+a)?a,解得 a=3,于是可确定点 A 的坐标为(3,4), 再利用待定系数法确定反比例函数的解析式. 解答:解:(1)∵y=x 的图象向下*移 6 个单位后与双曲线 y=交于点 B,与 x 轴交于点 C, ∴直线 BC 的解析式为 y=x﹣6, 把 y=0 代入得 x﹣6=0,解得 x=, ∴C 点坐标为(,0);
(2)作 AE⊥x 轴于 E 点,BF⊥x 轴于 F 点,如图, ∵OA∥BC, ∴∠AOB=∠BCF, ∴Rt△ OAE∽△RtCBF, ∴ = = =2, 设 A 点坐标为(a, a),则 OE=a,AE=a, ∴CF=a,BF=a, ∴OF=OC+CF=+a, ∴B 点坐标为(+a, a), ∵点 A 与点 B 都在 y=的图象上, ∴a?a=(+a)?a,解得 a=3, ∴点 A 的坐标为(3,4), 把 A(3,4)代入 y=得 k=3×4=12, ∴反比例函数的解析式为 y= .
点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数的交点坐标满足两 函数的解析式.也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的*移问题.
六、(共 2 个小题,其中第 24 小题 10 分,第 25 小题 12 分,共 22 分) 24.(10 分)(2013?泸州)如图,D 为⊙O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD.

(1)求证:CD2=CA?CB; (2)求证:CD 是⊙O 的切线; (3)过点 B 作⊙O 的切线交 CD 的延长线于点 E,若 BC=12,tan∠CDA=,求 BE 的长.
考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)通过相似三角形(△ ADC∽△DBC)的对应边成比例来证得结论;
(2)如图,连接 OD.欲证明 CD 是⊙O 的切线,只需证明 CD⊥OA 即可; (3)通过相似三角形△ EBC∽△ODC 的对应边成比例列出关于 BE 的方程,通过解方程 来求线段 BE 的长度即可. 解答:(1)证明:∵∠CDA=∠CBD,∠C=∠C, ∴△ADC∽△DBC, ∴ = ,即 CD2=CA?CB;
(2)证明:如图,连接 OD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠1+∠3=90°. ∵OA=OD, ∴∠2=∠3, ∴∠1+∠2=90°. 又∠CDA=∠CBD,即∠4=∠1, ∴∠4+∠2=90°,即∠CDO=90°, ∴OD⊥OA. 又∵OA 是⊙O 的半径, ∴CD 是⊙O 的切线;
(3)解:如图,连接 OE. ∵EB、CD 均为⊙O 的切线, ∴ED=EB,OE⊥DB, ∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°, ∴∠ABD=∠OEB, ∴∠CDA=∠OEB. 而 tan∠CDA=,

∴tan∠OEB= =, ∵Rt△ CDO∽Rt△ CBE, ∴ = = =, ∴CD=8, 在 Rt△ CBE 中,设 BE=x, ∴(x+8)2=x2+122, 解得 x=5. 即 BE 的长为 5.
点评:本题考查了切线的判定与性质:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;也考查了 圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.
25.(12 分)(2013?泸州)如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(﹣2,0),点 B 的坐标为(1, ﹣ ),已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点 A、B、O(O 为原点). (1)求抛物线的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点 C,使△ BOC 的周长最小?若存在,求出点 C 的坐标; 若不存在,请说明理由; (3)如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点,那么△ PAB 是否有最大面积?若有,求出此 时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
考点:二次函数综合题. 分析:(1)直接将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式;
(2)因为点 A,O 关于对称轴对称,连接 AB 交对称轴于 C 点,C 点即为所求,求直线

AB 的解析式,再根据 C 点的横坐标值,求纵坐标; (3)设 P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),用割补法可表示△ PAB 的面积,根据面积表达式 再求取最大值时,x 的值. 解答:解:(1)将 A(﹣2,0),B(1,﹣ ),O(0,0)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c(a≠0),

可得:



解得:



故所求抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣ x;

(2)存在.理由如下: 如答图①所示,
∵y=﹣ x2﹣ x=﹣ (x+1)2+ ,
∴抛物线的对称轴为 x=﹣1. ∵点 C 在对称轴 x=﹣1 上,△ BOC 的周长=OB+BC+CO; ∵OB=2,要使△ BOC 的周长最小,必须 BC+CO 最小, ∵点 O 与点 A 关于直线 x=﹣1 对称,有 CO=CA, △ BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA, ∴当 A、C、B 三点共线,即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时,BC+CA 最小,此 时△ BOC 的周长最小. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+t,则有:

,解得:



∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x﹣ ,
当 x=﹣1 时,y=﹣ ,
∴所求点 C 的坐标为(﹣1,﹣ );
(3)设 P(x,y)(﹣2<x<0,y<0), 则 y=﹣ x2﹣ x ① 如答图②所示,过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q,PG⊥x 轴于点 G,过点 A 作 AF⊥PQ 轴于点 F,过点 B 作 BE⊥PQ 轴于点 E,则 PQ=﹣x,PG=﹣y,

由题意可得:S△ PAB=S 梯形 AFEB﹣S△ AFP﹣S△ BEP =(AF+BE)?FE﹣AF?FP﹣PE?BE =(y+ +y)(1+2)﹣y?(2+x)﹣(1﹣x)(

+y)

=y+ x+ ②

将①代入②得:S△ PAB=(﹣ x2﹣ x)+ x+

=﹣ x2﹣ x+

=﹣ (x+)2+

∴当 x=﹣时,△ PAB 的面积最大,最大值为 ,

此时 y=﹣ ×+ ×= ,

∴点 P 的坐标为(﹣, ).

点评:本题考查了坐标系中点的坐标求法,抛物线解析式的求法,根据对称性求线段和最小的问 题,也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题;解答本题(3)也可以将直线 AB 向下*移至与抛物线相切的位置,联立此时的直线解析式与抛物线解析式,可求唯一 交点 P 的坐标.



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